Dérivée de la fonction inverse

Soit  `f`  la fonction définie sur  `\mathbb(R)text{\}{0}`  par  `f(x)=1/x` .
Soit  `a`  un réel.
Pour tout réel  `h\ne0`  tel que `a+h\in ]0;+\infty[` si `a>0` et   `a+h\in ]-\infty; 0[` si  `a<0` , on a : 

`\tau_a(h)=(f(a+h)-f(a ))/h=(\frac{1}{a+h}-\frac{1}{a})/h=\frac{a-(a+h)}{a(a+h)}\times 1/h`

`\tau_a(h)=\frac{-h}{ha(a+h)}=\frac{-1}{a(a+h)}`

Et donc,  \(\lim_\limits{h\rightarrow0}\tau_a(h)= \lim_\limits{h\rightarrow0}\dfrac{-1}{a(a+h)}=-\dfrac{1}{a^2}\)  car  \(\lim_\limits{h\rightarrow0}a(a+h)=a^2\) .

On en déduit que  `f`  est dérivable   sur chacun des intervalles  `` `]-\infty; 0[`   et `` `]0; +\infty[` et on a, pour tout  \(x\) non nul, \(f^\prime\left(x\right)=-\dfrac{1}{x^2}\) .